@Katja,

also wenn der Dieselfilter neu ist ....
hat es mit dem LuFi nichts zu tun .... wenn der Motor warm ist (90°), dann alles Ok

Was macht der Temperaturfühler ? ... die Welt kostet er sicher nicht im Internet (zu finden im Kühlmittelbehälter, Motorblock)

Eine Möglichkeit wäre auch, den Luftmassenmesser (LMM) zu prüfen

Es hört sich so an, dass für eine Bestimmte Temperatur die falsche Einspritzmenge berechnet wird.

Man kann auch mit VCDS (VW Diagnose) eine fahrt machen und die Daten protokollieren. Ein Fachmann sollte eine Unregelmässigkeit finden

Tipp:
Wenn es nicht der Temperaturfühler ist und LMM auch Ok, dann geht die Freundin zu einem VW-Tuner in ihrer Nähe. Er weiss über VCDS Bescheid und findet vermutlich den Fehler.